Permutação na sua Prova ou Prova na sua Permutação

Alguma vez você já fez aquela brincadeira e trocou os algarismos de AMOR por ROMA? Se Já fez isso saiba que você utilizou o conceito de Permutação, mesmo que não saiba nada de permutação.

Será que em algum momento também já não imaginou quantos veículos podemos emplacar no Brasil???

Leia essa frase de trás para frente!

– Saíram o tio e oito Marias.

Notou algo?

Mas de onde surgiu a Permutação?

 

Fonte: https://serjlav.ru/wp-content/uploads/2015/11/way-624×300.jpg

A resposta para esta pergunta está no fato de o homem ser curioso, e também de querer elaborar um método para ganhar em jogos de azar, tais como baralhos, dados, moedas, e segue do mesmo princípio da probabilidade , mas especialmente aqui estudaremos os conceitos da Permutação.

A Definição de Permutar de acordo com o dicionário da Língua Portuguesa diz o seguinte:

“Dar mutuamente, trocar”, ou seja, permutação nada mais é que troca, em problemas poderá ser troca de posição de todos os tipos de dados.

Imaginem a seguinte situação:

Se Emerson é um estudante de Matemática e possui 3 shorts e 4 camisetas, de quantas maneiras ele conseguiria ir à aula sem repetir o traje completo?

A primeira vista poderia parecer estranho tentar imaginar de quantas maneiras ele conseguiria se vestir, mas ao analisarmos as opções verificaríamos o seguinte:

3 shorts, suponha que os shorts sejam Branco, Azul e Preto, e as camisetas sejam Vermelha, Amarela, Verde e Rosa, assim vamos verificar as possibilidades dele se vestir com uma camiseta e um short:

Short          Camiseta

Branco       Vermelha

Branco       Amarela         

Branco       Verde

Branco       Rosa

Azul            Vermelha

Azul            Amarela

Azul            Verde

Azul            Rosa

Preto          Vermelha

Preto          Amarela

Preto          Verde

Preto          Rosa

Observem que ele teria 12 opções para e vestir, mas imaginem se Emerson fosse consumista e tivesse 10 shorts e 20 camisetas, ficaríamos um bom tempo para descobrir quantas maneiras ele iria se vestir, porém com o auxílio do Princípio Fundamental da Contagem , se torna muito mais simples, basta fazermos 10 x 20 = 200 maneiras, assim, na situação acima descrita, basta fazermos 3 x 4 = 12.

Um grande percursor de estudos dessa magnitude foi Arquimedes (Sec. III a.c.)

fonte: https://www.portalsaofrancisco.com.br/biografias/arquimedes

Mas enfim, vamos ao problema inicial, a palavra AMOR, quantas serão as possíveis formas de permutá-la:

AMOR

AMRO

AOMR

AORM

AROM

ARMO

MAOR

MARO

MRAO

MROA

MOAR

MORA

OAMR

OARM

OMAR

OMRA

ORMA

ORAM

RAOM

RAMO

ROAM

ROMA

RMAO

RMOA

Dessa forma temos 24 possibilidades de permutar a palavra amor, mas vamos ver uma forma que não canse tanto e não demore para resolver, pois isso cansa e eu quero evitar a fadiga!

Observe que a nossa palavra possui 4 letras, onde nenhuma delas se repete, assim teremos o que chamaremos de PERMUTAÇÃO SIMPLES, onde teremos __  __  __  __ lugares para colocar as letras, na primeira entrada teremos 4 possibilidades, na segunda entrada teremos 3 possibilidades (pois 1 letra já foi utilizada anteriormente), na terceira entrada teremos 2 possibilidade ( pois já utilizamos 2 letras), e na quarta entrada teremos 1 possibilidade ( pois já utilizamos 3 letras), sendo assim teremos 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades.

Definiremos Permutação Simples da seguinte maneira então:

Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos, ao qual utilizamos todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem.

É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das letras de uma palavra).

Exemplos

1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO?

Utilizando a fórmula da permutação temos:

n = 4 (letras)

P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como 1! = 1) → 24 . 1 = 24 anagramas

2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L?

P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L.

Permutação com repetição: Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em que o mesmo elemento aparece.

Com α + β + γ + … ≤ n

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra ARARA?

n = 5

α = 3 (temos 3 vezes a letra A)

β = 2 (temos 2 vezes a letra R)

Equacionando temos:

E O EXEMPLO SOBRE A QUANTIDADE DE VEÍCULOS QUE PODEMOS EMPLACAR NO BRASIL…

Vamos resolver,

As placas de veículos no Brasil a partir de 1990 adotaram o formato ABC·1234, ou seja, três letras e 4 algarismos, todas as letras podem ser utilizadas, porém nem todos os números são utilizados, o 0000 não é utilizado, então vamos lá!

Três letras: __  __  __ = 26 x 26 x 26 = 179.140 possibilidades.

Quatro Algarismos: __  __  __  __ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000, porém lembra que eu disse que placa com todos os algarismos iguais a 0 não existem, então será 10.000 – 1 = 9.999 possibilidades.

Quando agrupamos ambas, teremos Três letras e quatro algarismos, logo será:

179.140 x 9.999 = 175.742.424 possíveis placas em nosso país.

Maaaaaas, você sabia que, está para entrar em vigor no Brasil um novo tipo de emplacamento, padronizado a nível Mercosul, onde a placa teria vários detalhes.

Fonte:https://g1.globo.com/carros/noticia/placas-de-veiculos-no-padrao-mercosul-comecam-a-valer-em-1-de-setembro-de-2018.ghtml

  Vamos exercitar a mente???

(PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – Orientador Social – IDECAN) Renato é mais velho que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é

(A) 24.

(B) 25.

(C) 26.

(D) 27.

(E) 28.

 Resposta: C

Resolução

 Anagramas de RENATO

_ _ _ _ _ _

6.5.4.3.2.1=720

Anagramas de JORGE

_ _ _ _ _

5.4.3.2.1=120

Razão dos anagramas:

Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos

 EXERCÍCIOS

 01. (Vunesp-SP) Considere todos os números formados por seis algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Determine quantos números será possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1.

(A) 256 e 720

(B) 524 e 120

(C) 120 e 720

(D) 21 e 720

(E) 720 e 120

 

02. De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para uma ao lado da outra para a produção de um álbum de fotografias promocionais.

(A) 120

(B) 15

(C) 24

(D) 60

(E) 12  

RESPOSTAS

01. Resposta: E.

02. Resposta A.

 Conseguiram?

-Sim? Parabéns!

-Não? Calma não se desesperem…

Vamos lá!

01. Como temos os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, com algarismos distintos (não se repetem) temos uma permutação de 6 algarismos, logo teríamos:

P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 números

Agora que começam pelo algarismo 1, basta fixarmos o 1 na primeira entrada:

1  __  __  __  __  __

Agora teremos P5 = 5.4.3.2.1 = 120.

 02. Como temos 5 modelos, então temos uma permutação onde qualquer uma das 5 moças podem se alternar, assim ficaria:

P5 = 5.4.3.2.1 = 120.

   Que a força esteja com vocês!

Fonte:http://s2.glbimg.com/DFMqlvcGrWqiKHJrKabQskXSoiY=/620×430/e.glbimg.com/og/ed/f/original/2012/03/15/jedi.jpg

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Um grande abraço e bons estudos!