Você sabe dizer qual é a probabilidade de você acertar um exercício sobre probabilidade? Então leia nosso post e descubra as chances

 

13 de março de 2018

 

Por acaso você já jogou na loteria, ou foi resolver uma questão objetiva e não fazia ideia de qual alternativa assinalar daí você chutou, então você sabe o que é probabilidade, bom, pelo menos aplica de alguma forma. Hoje irei ensinar os principais conceitos de probabilidade e algumas aplicações práticas.

A probabilidade, um assunto desconhecido por Fermat até então, passou tentar descobrir as regras matemáticas que descrevessem com maior precisão as leis do acaso.

Fonte: http://1.bp.blogspot.com/-m2LpfcWXYo8/UcHYQlj788I/AAAAAAAABlk/1-98w_4vCAc/s1600/probabilidade.jpg

Devemos agradecer a vários matemáticos os avanços dos cálculos probabilísticos, entre eles alguns que se destacaram, são eles Pacioli, Cardano e Tartaglia (todos italianos)

Alguns outros matemáticos aprofundaram mais neste assunto, citaremos aqui Blaise Pascal e Pierre de Fermat.

A probabilidade, um assunto desconhecido por Fermat até então, passou tentar descobrir as regras matemáticas que descrevessem com maior precisão as leis do acaso. Mais especificamente numa carta datada de 24 de agosto de 1654, endereçada a Pascal, Fermat discute o seguinte problema: dois jogadores A e B, quando A precisa de 2 pontos para ganhar e B de 3 pontos, o jogo será certamente decidido em quatro jogadas. Para saber quem tem mais hipóteses de ganhar, o matemático escreve todas as combinações possíveis entre as letras a, que representa uma jogada em favor do jogador A e b, que representa uma em favor do jogador B:

01 – aaaa 09 – baaa

02 – aaab 10 – baab

03 – aaba 11 – baba

04 – aabb 12 – babb

05 – abaa 13 – bbaa

06 – abab 14 – bbab

07 – abba 15 – bbba

08 – abbb 16 – bbbb

Assim sendo, num total de 16, há 11 casos favoráveis a A e 5 favoráveis a B, visto que a ocorrência de 2 ou mais a é favorável a A e a ocorrência de 3 ou mais b a B. A solução dada por Pascal é a seguinte: suponhamos que cada um dos jogadores aposte a mesma quantia, 32 pistolas (moeda da época), aquele que tirar primeiramente três vezes, seguidas ou não, o número que aposta no dado, de 1 a 6, ganhará, num total de quatro partidas. Suponhamos também que o primeiro jogador tenha ganhado duas partidas e o segundo apenas uma. Como dividir, se a partida for interrompida agora, as 64 pistolas? Pascal explica que, se o jogo terminar empatado então cada um fica com 32 pistolas, logo o primeiro jogador já as tem, porém como ele ainda pode ganhar, deve-se partilhar as outras 32 pistolas, ficando o primeiro jogador com 48 e o segundo com 16.

Alguns autores afirmam que a história da probabilidade se deu pelo fato de interessar ao homem, estudar os fenômenos que envolviam determinadas possibilidades, alguns indícios alegam que o surgimento da teoria da probabilidade teve início com os jogos de azar, que foram disseminados na Idade Média. Este tipo de jogo é praticado através de apostas, daí o motivo de tentar prever o que poderia ocorrer, ou seja, antecipar o futuro.

Definições em Probabilidade

A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos probabilísticos.

– Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes.

 Exemplos:

a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima

b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces

c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número das suas faces.

– Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S, A, Ω … variando de acordo com a bibliografia estudada.

– Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E.

Veremos agora alguns eventos particulares:

Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto de si mesmo); E = S.

E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12.

– Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio.

E: o número de uma das faces de um dado comum ser 7.

E: Ø

– Evento simples: evento que possui um único elemento.

E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12.

E: {(6,6)}

Probabilidade em espaços equiprováveis

Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que:

Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma “chance de acontecer.

Onde:

n(E) = número de elementos do evento E.

n(S) = número de elementos do espaço amostral S.

Exemplo:

Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida da seguinte forma:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}      n(S) = 6

E = {1, 3, 5}                  n(E) = 3

 Vamos exercitar a mente???

  01. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades dos funcionários de certa repartição pública:

Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é:

(A) 30%;

(B) 35%;

(C) 40%;

(D) 45%;

(E) 55%.

Resposta: D.

 Resolução

 O espaço amostral é a soma de todos os funcionários:

2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40

O número de funcionários que têm mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18

Logo a probabilidade é:

Antes de deixar alguns exercícios para vocês, caso tenham interesse em algum filme que aborde o tema de probabilidade, sugiro que assistam “Quebrando a banca”.

Um filme onde tem alunos do MIT, que aprendem a contar cartas para jogarem blackjack, visto que contar cartas não pode ser considerado ilegal, porém administradores de cassinos não possuem tanto interesse em pessoas que consigam esse fato, pois os levam a falência, devido ao alto índice de sucesso. O filme mostra como o conceito de probabilidade condicional pode ser entendido através de estratégias que permitem obter um maior número de vitórias em jogos e, consequentemente, ‘quebrar a banca’.

O resto deixo para que vocês descubram quando assistirem!  😉

Agora como eu disse no início, vocês sabem qual é a chance de acertar um jogo da mega sena?

Qual é a chance de “ganhar” fazendo uma aposta simples, escolhendo 6 números?

Pois eu vos digo!

-Difícil…. extremamente difícil acertar os 6 números, estatisticamente falando, é praticamente impossível, mas daí não depende da probabilidade e sim da sorte, pois com os cálculos e com a matemática, basicamente impossível….

Vamos aos cálculos então:

Com apenas uma única aposta simples de 6 números…

Temos 60 possibilidades para o primeiro número, 59 para o segundo, 58 para o terceiro, 57 para o quarto, 56 para o quinto e 55 para o sexto, assim basta multiplicar 60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55 = 36.045.979.200, calma pessoal, essa não é a chance, pois acha que a chance que temos de ganhar na mega sena será de 1 em mais de 36 bilhões, não né, muito difícil…. pois sabemos que os números não precisam sair em ordem (ou seja, tanto faz por exemplo o número 10 ser sorteado como primeiro número, ou segundo, ou terceiro, etc. o que importa é ele ser sorteado, portanto temos que retirar essas possibilidades) assim, como temos 6 sorteios teremos _ _ _ _ _ _ = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =720 opções de alternação entre os números, logo devemos dividir o número gigante encontrado acima por 720, daí obteremos 36.045.979.200/720 = 50.063.860, viram? Agora sim é fácil ganhar na mega sena, temos 1 chance em pouco mais de 50 milhões… hahahahahaha

Sem menos importância devemos comentar um pouco sobre Voltaire e sua façanha em ficar rico com a loteria francesa no século XVIII.

Isto também é explicado pelo filósofo Roy Sorensen no seu Cabinet of Philosophical Curiosities (Gabinete de Curiosidades Filosóficas): em 1728, o governo francês não podia pagar os juros de seus títulos. O ministro das Finanças teve a ideia de oferecer aos detentores desses títulos a possibilidade de comprar números de loteria por um milésimo de seu preço. Ou seja, se o título valia 100.000 libras, o número da loteria custaria 100. Os vencedores poderiam recuperar o investimento e ganhavam mais 50.000 libras que eram sorteadas no dia 8 de cada mês. (Sim, a moeda do país foi a libra francesa até 1795, quando foi substituída pelo franco).

Os detentores dos títulos relutaram: parecia-lhes que se tratava de uma estratégia para arrecadar ainda mais dinheiro às suas custas, portanto não perceberam que o sorteio havia sido mal projetado. Mas Voltaire e de La Condamine se deram conta de que cada título dava direito a um número de loteria, independentemente de seu valor. Ou seja, quem tivesse um título de 100.000 libras poderia comprar um número por 100 libras, e quem tivesse um título de 1.000 poderia comprar um número por apenas 1 libra. Mas ambos disputavam o mesmo prêmio de 50.000.

O filósofo e o matemático se juntaram a outros 11 amigos para comprar a maior quantidade possível de títulos baratos. Não demoraram a começar a ganhar dinheiro, pois cada mês jogavam com uma porcentagem muito alta dos números.

Eles tomaram a precaução de assinar os títulos com nomes falsos para que ninguém percebesse que quase sempre os mesmos ganhavam, mas Voltaire não conseguiu deixar de cair na tentação de ser muito engraçado. De acordo com Sorensen, aqueles que tinham algum desses números costumavam escrever frases de boa sorte no verso, mas o filósofo preferiu escrever comentários sarcásticos sobre o ministro das Finanças. No final, já em 1730 e depois de vários sorteios, alguém percebeu e o governo tentou recuperar esse dinheiro.

No tribunal, Voltaire argumentou que os atos que são legais separadamente também devem ser legais em seu conjunto. Ou seja, se é legal comprar títulos e é legal usar esses títulos para participar da loteria, por que seria ilegal fazer as duas coisas? O filósofo e seus amigos foram absolvidos depois de terem embolsado entre 6 e 7 milhões de libras. A parte de Voltaire equivalia a meio milhão, o que lhe deu independência financeira pelo resto da vida. E o governo abandonou sua loteria.

Embora não seja habitual, também houve erros em outros sorteios de loteria mais recentes. Por exemplo, os estudantes do MIT aproveitaram uma falha de projeto na loteria de Massachusetts para acumular vários milhões de dólares até 2012, de acordo com a revista Time. E o canadense Mohan Srivastava percebeu em 2003 que era possível descobrir quais cartões de um sorteio de raspadinha tinham prêmios. Ele preferiu avisar a empresa de loteria a respeito do problema em vez de tirar proveito dele. A empresa só acreditou na história depois que Srivastava lhes enviou 10 cartões premiados… ainda sem raspar.

Infelizmente não parece ser o caso do primeiro prêmio da loteria brasileira. Se assim for, não hesite em nos contar sobre isso e dividiremos a bolada meio a meio. 

EXERCÍCIOS

 01. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos.

Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso.

A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é:

(A) ½;

(B) ¼;

(C) 1/8;

(D) 9/16;

(E) 7/32.

02. Uma pessoa resolveu chutar uma questão de prova objetiva, onde a questão trazia 5 possíveis alternativas e apenas uma era a correta, qual é a probabilidade dessa pessoa acertar a questão?

(A) 10%

(B) 15%

(C) 20%

(D) 25%

(E) 30%

Respostas:

01. E / 02. C

Conseguiram?

-Sim? Parabéns!

-Não? Calma não se desesperem…

Vamos lá!

01. Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 64 quadradinhos no total, logo a probabilidade será de:

02. Como possuímos 5 alternativas e apenas 1 é a correta, a probabilidade dela acertar será de 1/5 = 0,20 = 20%.

 

Que a força esteja com vocês!

Fonte:http://s2.glbimg.com/DFMqlvcGrWqiKHJrKabQskXSoiY=/620×430/e.glbimg.com/og/ed/f/original/2012/03/15/jedi.jpg

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Se tiver alguma sugestão de tema para abordarmos, por gentileza mande que nós escreveremos sobre. =)

Um grande abraço e bons estudos!

 Tutor Mário Vicente Ferrara

13 de março de 2018

 

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